Если использовать конструкцию:
%date:~0,2%-%date:~3,2%-%date:~6%_%time:~0,2%-%time:~3,2%-%time:~6,2%
то при старте записи в диапазоне времени 00:00:00 - 09:59:59 в названии файла значение "час" вместо первого 0 будет содержать пробел, например:
2019-01-15_ 2-48-54_nickname.ts
Разумеется, в большинстве случаев это не критично. Но те, кому приходилось заниматься хотя бы элементарной обработкой видео (скажем, перекинуть с помощью ffmpeg из формата .ts в .mp4), знают о проблеме с пробелом внутри названия файла. Чтобы не получить сообщение об ошибке типа "Файл не найден", нужно будет заключать в кавычки название файла полностью.

Возможно, в новых версиях ОС и нет такого бага. Я ориентируюсь на свою Windows 7.
Короче, для задания "дата/время" в названии файла применяется подключение команды из powershell - компонента системы Windows.

@echo off

::Чтение из буфера обмена скопированной ссылки из адресной строки браузера с помощью утилиты getclip
for /f "delims=" %%a in ('getclip') do set address=%%a

echo %address%

echo ==============================================

set savedir=E:\HLS_DOWNLOAD

::Удаление первых 26 символов из адреса: https://rt.bongacams2.com/nickname
set nickname=%address:~26%

:loop

for /f %%b in ('powershell -command "get-date -format yyyy-MM-dd_HH-mm-ss"') do set datetime=%%b
set file=%savedir%\%nickname%_%datetime%.ts

streamlink --hls-segment-threads 3 %address% -o "%file%"

goto loop

1. Программа записи - streamlink
Подробно по установке - комментарий от 30 октября 2018 23:58
Там на примере с сайтом MyFreeCams приведена необходимая инфа, в том числе и на нужный плагин для BongaCams.

Update.

2. Утилита getclip
https://vb.mvps.org/tools/ConClip/
Download ConClip.zip
https://vb.mvps.org/tools/snatch.asp?id=ConClip
Архив ConClip.zip распаковать и утилиты SetClip.exe, GetClip.exe поместить в системную папку:
C:\Windows\System32
-----------------------------
Дополнительно можно почитать здесь:
https://old.computerra.ru/gid/rtfm/system/301629/

1. Скопировать код батника в текстовый файл.
2. Исправить папку сохранения записей на свою:

3. Сохранить файл с расширением .cmd
4. Батник поместить в специальную папку на пользовательском диске.
5. Ярлык для батника бросить на Рабочий Стол или куда вам удобнее.

1. На странице трансляции модели копируете (Ctrl+C) всю ссылку из адресной строки браузера.
2. Двойной щелчок по ярлыку батника. Запись пошла, если модель в публичном чате (и не использует геоблокировку).

Батник позволяет автоматом подхватывать запись указанной модели после возвращения из away, group, private, fullprivate.
В целях заботы о своем процессоре:
а) не рекомендуется для отлова модели, находящейся в offline.
б) не рекомендуется для записи большого числа моделей.

Как вариант, в случае, когда модель нередко подолгу отсутствует в публичном чате (в этом случае на процессор действует пульсирующая, скачкообразная нагрузка с интервалом в 3-4 сек, обусловленная циклическим завершением / запуском процесса streamlink.exe), можно добавить строчку перед goto loop:

timeout 60

Таймаут между запросами сервера на наличие потока указан в сек.
Команда timeout удобна тем, что пользователь сам в любой момент может прервать таймаут нажатием любой клавиши (при активном окне).

Можно также использовать параметры retry-streams и retry-max. В этом случае запросы происходят в рамках ОДНОГО процесса streamlink.exe - нагрузка на процессор менее значимая.

::Удаление первых 26 символов из адреса: https://rt.bongacams2.com/nickname
set nickname=%address:~26%

::Удаление первых 25 символов из адреса: https://en.bongacams.com/nickname
set nickname=%address:~25%

Прикол в том, что в адресной строке на Чатуре последним символом является слэш ("/") и при попытке запуска данного батника будет неминуемая ошибка. Поэтому исправьте соответствующие строчки на:

::Удаление первых 26 символов и 1 последнего символа ("слэш") из адреса: https://en.chaturbate.com/nickname/
set nickname=%address:~26,-1%